La recta de Euler
Si hay un matemático que sea el regalón favorito de los autores de este blog es Leonhard Euler
Uno de sus resultados más importantes en lo que a Geometría se refiere a la demostración de que el circuncentro, baricentro y ortocentro están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina línea Recta de Euler del triángulo.
El libro de Dunham sobre Euler1 dedica 9 páginas (de fórmulas y ecuaciones) a exponer la demostración original de Euler. La demostración que sigue (¿de Gauss?) es mucho más sencilla y elegante, y demuestra que las alturas coinciden en un punto (el ortocentro), que las medianas coinciden en un punto (el baricentro) y que circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados.
En sean los puntos medios de los lados opuestos a los vértices
Partimos del hecho de que las mediatrices de los lados de se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita, que es el cicuncentro .
Las paralelas a cada lado de que pasan por los vértices opuestos se cortarán en tres puntos , que son los vértices de semejante a con razón de semejanza .
Los puntos medios de los lados de son los vértices de , y las mediatrices de los lados de son las alturas de , porque los lados de y son paralelos.
Como las mediatrices de los lados se cortan en un punto , que corresponde en la semejanza al punto de , resulta que las alturas de se cortan en un punto , ortocentro de .
Además y lo mismo para los otros vértices, es decir, la distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al punto medio del lado opuesto al vértice.
Si los lados y no son iguales, la mediatriz y la altura están en rectas diferentes y entonces los puntos y son diferentes
y la mediana corta al segmento en un punto .
Como la mediatriz y la altura son paralelas, los triángulos y son semejantes y como también y .
Entonces la mediana corta al segmento en un punto tal que .
Si es escaleno lo mismo sucede con las otras dos medianas, y si es isósceles con una de las otras dos medianas, y la otra mediana coincide con la altura, la mediatriz y la linea en que está el segmento .
Por tanto hemos demostrado que las medianas de se cortan en un punto , el baricentro de .
Además, como , la distancia del baricentro a un vértice es el doble de la distancia de al punto medio del lado opuesto.
Y como el baricentro está en el segmento , concluimos que si no es equilátero, el circuncentro , el baricentro y el ortocentro están alineados y y .
Otro hecho notable sobre el segmento es que su punto medio es el centro de la circunferencia de Feuerbach.
Usando el resultado anterior y las propiedades de la homotecia es muy fácil demostrar que pasa por los famosos 9 puntos:
Si son los puntos medios de los segmentos entre el ortocentro y los vértices, la homotecia con centro y razón transforma la circunferencia circunscrita a en una circunferencia con centro , radio y que pasa por .
Si en cambio aplicamos al plano una homotecia con centro y razón , la circunferencia circunscrita a se transforma en una
circunferencia con centro , radio y que pasa por , porque y .
Por tanto la circunferencia con centro y radio pasa por y por .
Como las homotecias preservan las direcciones, las tangentes a la circunferencia con centro y radio en y serán paralelas a la tangente a la circunferencia circunscrita en , y por tanto es un diámetro de la circunferencia con centro y radio .
Como es recto, tenemos que está en la circunferencia de diámetro , es decir, en la circunferencia con centro y radio . Lo mismo sucede con y y por tanto la circunferencia con centro y radio pasa por los 9 puntos indicados en la figura.
Como propina obtenemos que las tres circunferencias que resultan de reflejar la circunferencia circunscrita sobre cada uno de los lados se cortan en el ortocentro (porque , puesto que es la imagen de en la homotecia con centro ).
1 Dunham, “Euler. El maestro de todos los matemáticos”, Nivola.
Fuente: Gaussianos.com
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