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“Argumentos” en demostraciones…

Obviamente en mas de alguna ocasión nos ha tocado escuchar a nuestros profesores de matemática ocupar alguna de estas frases para dar argumento en el momento de demostrar alguna propiedad o teorema, pues bien, he aquí el nombre técnico que recibe tal frase…

Rescatada de alguna pagina que no recuerdo LINK

1. Demostración por Obviedad: “La demostración es tan evidente que no hace falta que sea mencionada” (” Es obvió, es grivial“, léase con acento francés)
2. Demostración por Acuerdo General: “¿Todos a favor?…”
3. Demostración por Imaginación: “Bien, fingiremos que es cierto.”
4. Demostración por Conveniencia: “Sería magnífico si esto fuera cierto, por tanto…”
5. Demostración por Necesidad: “Tendría que ser cierto o la estructura completa de las Matemáticas se derrumbaría.”
6. Demostración por Verosimilitud: “Suena muy bien. Por tanto debe ser cierto.”
7. Prueba por Intimidación: “No seas estúpido, naturalmente que es cierto.”
8. Demostración por Falta de Tiempo: “Por problemas de tiempo te dejaré la demostración a ti.”
9. Demostración por Aplazamiento: “La demostración de esto es demasiado larga. Por eso se da en el apéndice.”
10. Demostración por Accidente: “¡Vaya!, ¿qué tenemos aquí?”
11. Demostración por Falta de Importancia: ¿A quién le importa realmente?”
12. Demostración por Mumbo-Jumbo: “Para cada epsilon mayor que cero existe un delta mayor que cero tal que f(x) – L es menor que epsilon siempre y cuando x-a sea menor que delta.”
13. Demostración por Blasfemia: (Ejemplo omitido)
14. Demostración por Definición: “Lo definiremos para que sea cierto.”
15. Demostración por Tautología: “Es cierto porque es cierto.”
16. Demostración por Plagio: “Como podemos ver en la página 238…”
17. Demostración por Referencia Perdida: “Sé que lo vi en algún sitio…”
18. Demostración por Cálculo: “Esta demostración requiere muchos cálculos. Por lo tanto la pasaremos por alto.”
19. Demostración por Terror: Usada cuando la Intimidación (7.) falla.
20. Demostración por Falta de Interés: “¿Realmente alguien quiere ver esto?”
21. Demostración por Ilegibilidad: “¥ ª Ð Þ þæ”
22. Demostración por Lógica: “Si está en la hoja de problemas entonces debe ser cierto.”
23. Demostración por la Regla de la Mayoría: Usada cuando Acuerdo General (2.) no puede usarse.
24. Demostración por Elección Inteligente de la Variable: “Sea A el número tal que la demostración funciona.”
25. Demostración por Mosaico: “Esta prueba es justo la misma que la anterior.”
26. Demostración por Palabra Divina: “Y el Señor dijo: ‘Sea cierto’. Y ocurrió.”
27. Demostración por Testarudez: “¡No me importa lo que digas! ¡Es cierto!”
28. Demostración por Simplificación: “Esta prueba se reduce al hecho de que 1+1=2.”
29. Demostración por Generalización Precipitada: “Bien, es cierto para el 17, por tanto lo es para todos los números reales.”
30. Demostración por Engaño: “Ahora que todo el mundo se de la vuelta…”
31. Demostración por Súplica: “Por favor, que sea cierto.”
32. Demostración por Analogía Pobre: “Bien, esto es igual que…”
33. Demostración por Escape: Límite de Aplazamiento (9.) cuando t tiende a intinifo.
34. Demostración por Diseño: “Si no es cierto en las Matemáticas actuales invento un nuevo sistema donde sí lo es.”
35. Demostración por Intuición: “Tengo la sensación de que…”
36. Demostración por Autoría: “Bill Gates dice que es cierto. Por tanto debe serlo.”
37. Demostración por Afirmación Rotunda: “¡YO REALMENTE QUIERO DECIR ESTO!”
38. Demostración por el Teorema C.T.L.S.: “¡Cualquier Tonto Lo Sabe!”
39. Demostración por Vigoroso Agitamiento Manual: Funciona bien en clase.
40. Demostración por Seducción: “Convéncete tú mismo de que es cierto.”
41. Demostración por Evidencia Acumulada: “Largas y concienzudas búsquedas no han revelado ningún contraejemplo.”
42. Demostración por Intervención Divina: “Entonces un milagro ocurre y…”

Por lo menos la 1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 40, 41 las he escuchado en alguna ocasión. Pero la 42 es notable… hehehe…

Saludos!

Equipo profedemate.wordpress.com

Geometria Plana y del Espacio y Trigonometria – A. Baldor

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Al revisar el blog me percaté que Slavador86 había puesto un enlace para descargar “Aritmética” del autor Aurelio Baldor, lo cual hizo acordarme que en mis estanterías virtuales están Geometria y Algebra del mismo autor. Es por eso que pongo a disposición del público este libro que es muy usado por profesores en la enseñanza de la Geometría.

OBS: El libro viene en formato PDF, compreso en formato RAR y NO tiene pass.

Tamaño: 57.95 Mb

Hospedado en MEGAUPLOAD

Descargar AQUÍ

Acerca de la demostración en Geometría

¿Tienes problemas con las demostraciones?

¿No sabes por qué hay que demostrar?

¿No sabes como realizar una demostración?

¿Tu demostración quedó ordinaria y todos la criticaron?

Este es el libro que necesitas, si TU… yo sé que debes leerlo… y todos nosotros los sabemos, así que es tu oportunidad de descargarlo leerlo y aplicarlo.

Titulo: Acerca de la demostración en Geometría

Autor: A. I. Fetisov

Editorial: MIR

Idioma: Español

Formato: PDF

Descargar aquí (o en la imagen)

Pass: underground69

Demostración Teorema de Pitágoras por Euclides

Leyendo una de las recientes entradas que realizó nuestro colega Underground69 acerca del libro de los elementos de Euclides, me dio la intriga si encontraba en alguna parte la demostración que hace éste acerca del teorema de Pitágoras, el archiconocido a^2 + b^2 = c^2.

Bueno, navegando llegué a otra página dedicada también a las matemáticas de la cual extraje esta demostración, les animo a que analicen y saquen conclusiones. Asi que antes de que se den la lata de navegar y buscar en otras partes esta demostración, se las traigo ahora de mano de esta pagina española

“El texto de matemáticas de mayor éxito que se haya escrito nunca es sin duda los Elementos de Euclides. Se trataba de un libro de texto que no era, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primera media docena son de geometría plana elemental, los tres siguientes de teoría de números, el libro X de los inconmensurables y los tres últimos, principalmente, de geometría de sólidos. Los Elementos de Euclides no solamente fueron la primera obra matemática griega de importancia que ha llegado hasta nosotros, sino también el libro de texto que ha ejercido una mayor influencia en todos los tiempos.

Fue escrito hacia el 300 a.C. y desde entonces fue copiado y recopiado sin cesar, con la consecuencia de que se deslizaron en él errores y variaciones de una manera inevitable. Sin embargo, ha sido posible obtener una impresión bastante buena del contenido de la versión euclídea por comparación entre más de media docena de copias griegas manuscritas que datan en su mayoría de entre los siglos X y XII. La primera versión impresa de los Elementos apareció en Venecia en 1.482, y fue uno de los primerísimos libros matemáticos que se imprimió; se estima que desde entonces se han publicado más de un millar de ediciones. Probablemente ningún otro libro salvo la Biblia puede jactarse de haber tenido tantas ediciones y desde luego ninguna otra obra matemática ha tenido una influencia comparable con la de los Elementos de Euclides.

La mayor parte de las proposiciones del Libro I de los Elementos de Euclides son bien conocidas. Entre ellas están los conocidos teoremas sobre las construcciones elementales con regla y compás, sobre las desigualdades relativas a ángulos y lados de un triángulo, sobre las propiedades de las rectas paralelas (con la consecuencia principal de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos) y de los paralelogramos.

El libro concluye en las proposiciones 47 y 48 con las demostraciones del teorema de Pitágoras y su recíproco. La demostración que da Euclides no es la que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa. Se supone que Euclides evitó esta demostración debido a las dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad.

Para demostrar el teorema de Pitágoras, Euclides utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como una cola de pavo real o bien como la Silla de la Novia.

La silla de la Novia

La demostración viene a ser la siguiente:

Pitagoras comun

  • El área del triángulo AFB es\frac{\overline {BF} \cdot \overline {A'B} }{2} , y como \overline {H'A}= \overline {KH} resulta que Area_{ABK} = \frac{ BK \cdot KH }{2} = \frac{Area{\text{ del Cuadrado }}BC}{2}
  • El área del triángulo BCD es 05, y como 06 resulta que 07
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos AFB y ACD son iguales

(08y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado 10 es igual al área del rectángulo de lados 12 y 12.

13 o si pudieramos verlo mejor…

01Este diagrama animado muestra la demostración de Euclides como una dinámica de modificaciones sucesivas de triángulos equivalentes.

Luego:

  • El área del triángulo ABK es 14, y como 15 resulta que 16
  • El área del triángulo BCE es17, y como 18 resulta que 19
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos ABK y BCE son iguales ( 20y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado21 es igual al área del rectángulo de lados 22 y 23.

En definitiva, hemos demostrado que la suma de las áreas de los cuadrados de lados los catetos del triángulo rectángulo ABC, es igual al área del cuadrado de lado la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo. O sea, que la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC es igual al cuadrado de la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo: AB²=AC²+CB².

Se supone que esta demostración es original de Euclides y se han hecho muchas conjeturas acerca de la forma que ofrecerían las demostraciones anteriores.

A partir de la época de Euclides se han propuesto una infinidad de demostraciones alternativas. Es de notar, a cuenta de los méritos de Euclides, el que el teorema de Pitágoras vaya seguido inmediatamente por una demostración del recíproco: si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ángulo que forman estos otros dos lados es un ángulo recto. Es frecuente en algunos libros de textos modernos que los ejercicios que siguen al teorema de Pitágoras requieran no el teorema propiamente dicho, sino el recíproco no demostrado aún.

Puede haber muchos defectos menores en los Elementos, pero el libro tiene todas las virtudes lógicas mayores.

  • Demostración del Teorema de Pitágoras utilizando la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa:

24

Los triángulos BAC y BHA son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, B. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que 25 (es el Teorema del Cateto).

Los triángulos BAC y AHC son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, C. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que26(es el Teorema del Cateto referido al otro cateto).

Sumando las dos igualdades anteriores y operando tenemos el Teorema de Pitágoras: 27

  • Veamos ahora una demostración gráfica del Teorema de Pitágoras:

28

Los dos cuadrados grandes son iguales ya que tienen el mismo lado b + c, y cada uno tiene en su interior cuatro triángulos rectángulos iguales, de lados a (hipotenusa), b y c. Los dos cuadrados sombreados que aparecen en la figura de la izquierda tienen una superficie de b² y c², respectivamente. El cuadrado sombreado que se representa en la figura de la derecha tiene por área a². Las áreas sombreadas que aparecen en las figuras 1 y 2 son iguales, ya que corresponden al área del cuadrado grande menos el área de los cuatro triángulos. Por tanto, tenemos el teorema de Pitágoras: a²=b²+c².

Tratado de secciones cónicas – Apolonio de Perga

Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.) fue un geómetra griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Fue Apolonio quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

Sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra en ocho libros (de los cuales sólo perduraron 7) y fue conocido con el sobrenombre del Gran Geómetra.

Propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como El problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría.

Apolonio de Perga

Descarga: Tratado de secciones cónicas (formato DjVu)

La recta de Euler

Si hay un matemático que sea el regalón favorito de los autores de este blog es Leonhard Euler

Uno de sus resultados más importantes en lo que a Geometría se refiere a la demostración de que el circuncentro, baricentro y ortocentro están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina línea Recta de Euler del triángulo.

El libro de Dunham sobre Euler1 dedica 9 páginas (de fórmulas y ecuaciones) a exponer la demostración original de Euler. La demostración que sigue (¿de Gauss?) es mucho más sencilla y elegante, y demuestra que las alturas coinciden en un punto (el ortocentro), que las medianas coinciden en un punto (el baricentro) y que circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados.

En \triangle A B C sean A^{\prime} , B^{\prime}, C^{\prime} los puntos medios de los lados opuestos a los vértices A, B,C.

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Partimos del hecho de que las mediatrices de los lados de \triangle A B C se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita, que es el cicuncentro O.

Las paralelas a cada lado de \triangle A B C que pasan por los vértices opuestos se cortarán en tres puntos A_0, B_0, C_0, que son los vértices de \triangle A_0 B_0 C_0, semejante a \triangle ABC con razón de semejanza 2:1.

Los puntos medios de los lados de \triangle A_0 B_0 C_0 son los vértices de \triangle A B C, y las mediatrices de los lados de \triangle A_0 B_0 C_0 son las alturas de \triangle A B C, porque los lados de \triangle A B C y \triangle A_0 B_0 C_0 son paralelos.

Como las mediatrices de los lados \triangle A_0 B_0 C_0 se cortan en un punto H, que corresponde en la semejanza al punto O de \triangle A B C, resulta que las alturas de \triangle A B C se cortan en un punto H, ortocentro de \triangle A B C.

Además HA = 2\ OA^{\prime} y lo mismo para los otros vértices, es decir, la distancia del ortocentro H a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro O al punto medio del lado opuesto al vértice.

Si los lados AB y AC no son iguales, la mediatriz OA^{\prime} y la altura AA^{\prime\prime} están en rectas diferentes y entonces los puntos O y H son diferentes

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y la mediana AA^{\prime} corta al segmento OH en un punto G.

Como la mediatriz OA^{\prime} y la altura AA^{\prime\prime} son paralelas, los triángulos \triangle AHG y \triangle A^{\prime}OG son semejantes y como AH = 2\ OA^{\prime} también HG = 2\ OG y AG = 2\ A^{\prime}G.

Entonces la mediana AA^{\prime} corta al segmento OH en un punto G tal que OH = 3\ OG.

Si \triangle A B C es escaleno lo mismo sucede con las otras dos medianas, y si \triangle A B C es isósceles con una de las otras dos medianas, y la otra mediana coincide con la altura, la mediatriz y la linea en que está el segmento OH.

Por tanto hemos demostrado que las medianas de \triangle A B C se cortan en un punto G, el baricentro de \triangle A B C.

Además, como AG = 2\ A^{\prime}G, la distancia del baricentro G a un vértice es el doble de la distancia de G al punto medio del lado opuesto.

Y como el baricentro G está en el segmento OH, concluimos que si  \triangle A B C no es equilátero, el circuncentro O, el baricentro G y el ortocentro H están alineados y OH = 3\ OG y GH = 2\ OG.

Otro hecho notable sobre el segmento OH es que su punto medio N es el centro de la circunferencia de Feuerbach.

Usando el resultado anterior y las propiedades de la homotecia es muy fácil demostrar que pasa por los famosos 9 puntos:

euler2c4

Si A_1, B_1, C_1 son los puntos medios de los segmentos entre el ortocentro H y los vértices, la homotecia con centro H y razón \textstyle{\frac{1}{2}} transforma la circunferencia circunscrita a \triangle A B C en una circunferencia con centro N, radio \textstyle{\frac{OA}{2}} y que pasa por A_1, B_1, C_1.

Si en cambio aplicamos al plano una homotecia con centro G y razón \textstyle{\frac{-1}{2}}, la circunferencia circunscrita a \triangle A B C se transforma en una
circunferencia con centro N, radio \textstyle{\frac{OA}{2}} y que pasa por A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, porque OG = 2\ GN y A = 2\ GA^{\prime}.

Por tanto la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} pasa por A_1,B_1,C_1 y por A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}.

Como las homotecias preservan las direcciones, las tangentes a la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} en A_1 y A^{\prime} serán paralelas a la tangente a la circunferencia circunscrita en A, y por tanto A_1 A^{\prime} es un diámetro de la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}}.

Como \angle A_1 A^{\prime\prime} A^{\prime} es recto, tenemos que A^{\prime\prime} está en la circunferencia de diámetro A_1 A^{\prime}, es decir, en la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}}. Lo mismo sucede con B^{\prime\prime} y C^{\prime\prime} y por tanto la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} pasa por los 9 puntos indicados en la figura.

Como propina obtenemos que las tres circunferencias que resultan de reflejar la circunferencia circunscrita sobre cada uno de los lados se cortan en el ortocentro (porque HA^{\prime\prime} = A^{\prime\prime}A_2, puesto que A^{\prime\prime} es la imagen de A_2 en la homotecia con centro H).


1 Dunham, “Euler. El maestro de todos los matemáticos”, Nivola.

Fuente: Gaussianos.com

La suma de dos números impares SIEMPRE es par.

Hoy amanecí con esta idea en la cabeza y antes de que me olvide, les mostraré como es la demostración de esta proposición.

Primero que todo, daré algunas indicaciones para que podamos entendernos durante la demostración.

Cuando hablamos de un número par  es divisible por dos, si no me creen, intenten hacer la prueba con algún número par, verán que para cualquier número que uds. escojan, todos los que sean pares podrán dividirlos por dos y obtendrán como resultado un número entero, sin resto. Para poder expresar cualquier número par, podemos utilizar nuestro nunca bien ponderado y útil lenguaje algebraico, el cual nos facilitará el trabajo, ya que mediante el lenguaje algebraico puedo representar en solo una breve expresión a todos los números pares.

Para este efecto, el lenguaje algebraico dice que todo número par se puede escribir de la forma 2n, donde n es un número entero cualquiera (se desprende del hecho de que puedas dividir por dos un número par y luego obtengas un número entero como resultado)

Ahora, para todo número impar, simplemente basta agregar (o restar, según convenga) 1, es decir, la expresión estaría escrita como 2n+1, resulta obvio ya que cuando miramos los números enteros, entre dos números pares siempre hay un impar… (tema para otra demostración… hehehe).

Ok, teniendo esto claro por fin, podemos proceder.

Pues bien, veamos que tenemos dos números impares (2n+1) y (2m+1), con n y m distintos y enteros.

Al sumarlos tenemos que :

2n+1 + 2m+1 = 2n+2m+1+1

2n+2m+2 = 2 (n+m+1)

Veamos que n+m+1 también es un número entero, luego n+m+1 puede ser igual a un número k
cualquiera, con k otro número entero.

Finalmente podemos decir entonces que 2 (n+m+1) = 2k , y , como ya habiamos dicho que cualquier numero par puede escribirse de la forma 2n, resulta que 2k también es un número par, por lo tanto, lo que se propuso en un comienzo es cierto.

Lla suma de dos números impares SIEMPRE es otro número par.

Saludos y sigan visitándonos.

PD: una característica general de todo matemático es que somos unos ociosos. De ahí que nace cada lesera… ^^