Construcciones Imposibles con regla y compás (parte 1)

Hace un tiempo, en el comentario de Tomás Mosciatti sobre el paro de los profesores, surgió un interesante debate sobre la posibilidad de cuadrar un círculo.

Es por esto que hoy traigo a ustedes un interesante articulo, publicado en Wikipedia, con respecto a las Construcciones imposibles de realizar con regla y compás.

La primera que voy a mencionar es la Trisección de un ángulo

“Partiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida justo un tercio dicho ángulo. Se demuestra que ello requiere obtener la raíz cúbica de un número complejo cualquiera, con valor absoluto 1. Resulta imposible hacerlo sólo con regla y compás.

Se puede esbozar una demostración más completa para el caso de que el ángulo sea de 60°. Si fuera trisecable, entonces el polinomio mínimo de cos 20°tendría que ser de un grado potencia de dos (2,4,8,…). Esto es así porque, como se ha visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia que subtienda ese ángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían ser números construibles, y ya se ha visto que sólo los que resultan de polinomios de grado potencia de 2 son construibles.

Usando la identidad trigonométrica

\cos \left({3 \alpha}\right)=4 \cos ^3 \left(\alpha\right)-3 \cos \left(\alpha\right) se obtiene, haciendo \cos 20^ \circ = y,

8y^3 - 6y - 1 = 0 de modo que, con el cambio de variable, x = 2y,

x^3 - 3x - 1 = 0.

Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no son raíces. Por lo tanto, el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3, de modo que cos 20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado.

La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado origami. Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas)”

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About slavador86

Profesor de Matemática y Computación. Universidad de Concepción Docente Colegio Madre Paulina, Freelance como soporte técnico computacional

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