Demostración Teorema de Pitágoras por Euclides

Leyendo una de las recientes entradas que realizó nuestro colega Underground69 acerca del libro de los elementos de Euclides, me dio la intriga si encontraba en alguna parte la demostración que hace éste acerca del teorema de Pitágoras, el archiconocido a^2 + b^2 = c^2.

Bueno, navegando llegué a otra página dedicada también a las matemáticas de la cual extraje esta demostración, les animo a que analicen y saquen conclusiones. Asi que antes de que se den la lata de navegar y buscar en otras partes esta demostración, se las traigo ahora de mano de esta pagina española

“El texto de matemáticas de mayor éxito que se haya escrito nunca es sin duda los Elementos de Euclides. Se trataba de un libro de texto que no era, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental.

Los Elementos están divididos en trece libros o capítulos, de los cuales la primera media docena son de geometría plana elemental, los tres siguientes de teoría de números, el libro X de los inconmensurables y los tres últimos, principalmente, de geometría de sólidos. Los Elementos de Euclides no solamente fueron la primera obra matemática griega de importancia que ha llegado hasta nosotros, sino también el libro de texto que ha ejercido una mayor influencia en todos los tiempos.

Fue escrito hacia el 300 a.C. y desde entonces fue copiado y recopiado sin cesar, con la consecuencia de que se deslizaron en él errores y variaciones de una manera inevitable. Sin embargo, ha sido posible obtener una impresión bastante buena del contenido de la versión euclídea por comparación entre más de media docena de copias griegas manuscritas que datan en su mayoría de entre los siglos X y XII. La primera versión impresa de los Elementos apareció en Venecia en 1.482, y fue uno de los primerísimos libros matemáticos que se imprimió; se estima que desde entonces se han publicado más de un millar de ediciones. Probablemente ningún otro libro salvo la Biblia puede jactarse de haber tenido tantas ediciones y desde luego ninguna otra obra matemática ha tenido una influencia comparable con la de los Elementos de Euclides.

La mayor parte de las proposiciones del Libro I de los Elementos de Euclides son bien conocidas. Entre ellas están los conocidos teoremas sobre las construcciones elementales con regla y compás, sobre las desigualdades relativas a ángulos y lados de un triángulo, sobre las propiedades de las rectas paralelas (con la consecuencia principal de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos) y de los paralelogramos.

El libro concluye en las proposiciones 47 y 48 con las demostraciones del teorema de Pitágoras y su recíproco. La demostración que da Euclides no es la que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa. Se supone que Euclides evitó esta demostración debido a las dificultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad.

Para demostrar el teorema de Pitágoras, Euclides utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como una cola de pavo real o bien como la Silla de la Novia.

La silla de la Novia

La demostración viene a ser la siguiente:

Pitagoras comun

  • El área del triángulo AFB es\frac{\overline {BF} \cdot \overline {A'B} }{2} , y como \overline {H'A}= \overline {KH} resulta que Area_{ABK} = \frac{ BK \cdot KH }{2} = \frac{Area{\text{ del Cuadrado }}BC}{2}
  • El área del triángulo BCD es 05, y como 06 resulta que 07
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos AFB y ACD son iguales

(08y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado 10 es igual al área del rectángulo de lados 12 y 12.

13 o si pudieramos verlo mejor…

01Este diagrama animado muestra la demostración de Euclides como una dinámica de modificaciones sucesivas de triángulos equivalentes.

Luego:

  • El área del triángulo ABK es 14, y como 15 resulta que 16
  • El área del triángulo BCE es17, y como 18 resulta que 19
  • Y como fácilmente se ve que los triángulos ABK y BCE son iguales ( 20y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado21 es igual al área del rectángulo de lados 22 y 23.

En definitiva, hemos demostrado que la suma de las áreas de los cuadrados de lados los catetos del triángulo rectángulo ABC, es igual al área del cuadrado de lado la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo. O sea, que la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo rectángulo ABC es igual al cuadrado de la hipotenusa de dicho triángulo rectángulo: AB²=AC²+CB².

Se supone que esta demostración es original de Euclides y se han hecho muchas conjeturas acerca de la forma que ofrecerían las demostraciones anteriores.

A partir de la época de Euclides se han propuesto una infinidad de demostraciones alternativas. Es de notar, a cuenta de los méritos de Euclides, el que el teorema de Pitágoras vaya seguido inmediatamente por una demostración del recíproco: si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ángulo que forman estos otros dos lados es un ángulo recto. Es frecuente en algunos libros de textos modernos que los ejercicios que siguen al teorema de Pitágoras requieran no el teorema propiamente dicho, sino el recíproco no demostrado aún.

Puede haber muchos defectos menores en los Elementos, pero el libro tiene todas las virtudes lógicas mayores.

  • Demostración del Teorema de Pitágoras utilizando la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa:

24

Los triángulos BAC y BHA son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, B. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que 25 (es el Teorema del Cateto).

Los triángulos BAC y AHC son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, C. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que26(es el Teorema del Cateto referido al otro cateto).

Sumando las dos igualdades anteriores y operando tenemos el Teorema de Pitágoras: 27

  • Veamos ahora una demostración gráfica del Teorema de Pitágoras:

28

Los dos cuadrados grandes son iguales ya que tienen el mismo lado b + c, y cada uno tiene en su interior cuatro triángulos rectángulos iguales, de lados a (hipotenusa), b y c. Los dos cuadrados sombreados que aparecen en la figura de la izquierda tienen una superficie de b² y c², respectivamente. El cuadrado sombreado que se representa en la figura de la derecha tiene por área a². Las áreas sombreadas que aparecen en las figuras 1 y 2 son iguales, ya que corresponden al área del cuadrado grande menos el área de los cuatro triángulos. Por tanto, tenemos el teorema de Pitágoras: a²=b²+c².

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6 responses to “Demostración Teorema de Pitágoras por Euclides”

  1. underground69 says :

    Euclides utilizó “El molino” para la demostración del Teorema de Pitágoras porque para él le resultaba mas sencillo y necesitaba el resultado para otros problemas. Si hubiese esperado hasta el libro VI, donde estudia semejanza, para desarrollar el teorema de Pitágoras utilizando la proporcón de áreas, habría dejado de lado otros porblemas mas simples que se demuestran utilizando dicho teorema, en los libros anteriores.

    Pd: creo que es mejor esparar a q Seba se aplique con el plugin LaTeX para realizar demostraciones mas bonitas

    • slavador86 says :

      gutemberg inventó la imprenta en 1452 (fecha de impresión de la primera Biblia de gutemberg) y creo que para la otra, mejor hacer estas demostraciones por capítulos.

      • underground69 says :

        la imprenta se inventó en 1450 ..

        sito de la wikipedia corrupta:

        Una edición que data del año 1502 en Maguncia, Alemania, impresa por Juan Schoöeffer, sucesor de la imprenta que en el pasado le perteneció a Gutenberg, dice:

        “…Este libro ha sido impreso en Maguncia, ciudad donde el arte admirable de la tipografía fue inventado en 1450 por el ingenioso Johannes Gutenberg y luego perfeccionado a costa y por obra de Johann Fust y de Peter Schöeffer… entre otros…”

  2. rurounigalo says :

    concuerdo con underground69…
    las demostraciones se tornan algo densas de leer al contener sólo texto….
    asi que a aplicarse slavador86 con el plugin…

    Comentario acerca de la demostración:
    ¿En que parte de la primera figura aparece el punto H’?

    Pasa que si nos guiamos por la primera figura, no aparece H ni su homólogo….y si miramos la segunda figura no aparece el punto A ni A’….

    No se discute que la demostración esté mala, por ningún motivo. Pero que las figuras que subamos sean compatibles con la demostración en sí, de no ser así crearemos una confusión en vez de lo que pretendemos.

    vamos que se puede!!

  3. Fernando Faundez says :

    disculpen al respecto…
    @rurounigalo: trataré de corregir el error de la imagen..
    @underground69: lo mismo pensé… pero por el momento no podré poner las ecuaciones en LaTEX, hasta que no tengamos un servidor propio… (estaba la intenciòn y la manera de hacerlo, pero no se pudo)

  4. mary says :

    quisieran que me ayudaran a demostrar la proposicion 11 del libro 2 de los elementos de euclides, llamada proposicion aurea.

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